怎样把形象思维渗透到数学教育中
2013-09-22 10:25:37   来源：中华教育改进社   评论：0

 

 

杨浩民  形体数学发明人

 

   

内容提要：数学知识的抽象性与学生的一般认知规律之间存在着尖锐矛盾，要解决此矛盾首先应为基础数学的各知识点配备典型化直观模型，使其能通过直观形象展现各种数学规律，以借助形象思维发展抽象思维。形体数学是笔者的研究成果。

关键词：中小学数学  形象思维  直观模型  操作活动      

 

现代科学家、数学家、教育家从不同研究领域就人的智能发展方面，得出了不约而同的共识：即人的抽象思维与形象思维应当协调发展、互动发挥；没有严谨的抽象思维产生不了科学，没有活跃的形象思维就没有科学的创新与发展，充分激发人的左、右脑潜能，运用全脑学习，是实现高效学习的必由之路。

数学是具有广泛应用价值的科学，是中小学生的必修课,由于它具有高度的抽象性和严密的逻辑性，与中小学生的认知特点存在着尖锐矛盾，因此中小学生普遍对数学缺乏兴趣。据教育部对全国中小学生关于数学学习状况的调查显示：“学生一般都欠缺对数学学习的兴趣，较多学生对数学学习难以形成愉快体验，普遍状况是随着年级的升高，学生的愉快体验却大幅度下降……。即使是学生看到数学的成功应用和获得较好成绩之时，其对数学也难以真正喜欢。（通过对初中代数、几何双百分的一百名数学“优秀生”的调查反映了这样的事实。）”。是什么原因造成学生不愿学数学呢？,主要矛盾是什么？主要的矛盾方面在哪里？我认为，主要矛盾是数学的抽象形式与学生的学习特点、认知规律之间的矛盾，主要的矛盾方面则在于学校的教学模式和学生的学习方式。教学模式和学习方式要实现革命性飞跃，必须要完成如下课题：为数学抽象形式配备一套具有典型化的直观化呈现系统。笔者于1998年开始这项课题研究，2004年中央教科所和北师大学术专家约我去北京座谈，他们对我的研究给予热情鼓励和充分肯定，并建议把我的研究成果定名形体数学。我研究形体数学的事迹在报纸上披露后,国内相关媒体纷纷转载，引起普遍关注；中国首席作家徐富敏先生以“形体数学之光”为题写了长篇报道，发表在报告文学杂志上引起广泛影响。特别值得一提的是形体数学成果得到了全国高新技术创新委员会的重视，常务主任朱松林同志对我的形体数学成果给予高度评价，布置录制了四集形体数学视频讲座，在其官方网站的世界大学城中的世界发明城中广泛宣传展播。

形体数学是关于中小学数学教学和学生自我探究学习的一套思想方法。它为中小学数学的各种数学知识点均配备了相应的直观模型，它选择方形体为一切数学知识的原始生长点，把各种数量关系、空间形式均与人们熟悉的方形建立直接联系。由于基础数学有了属于它的典型化载体。从此，基础数学的展现形式为之一新，数学的教学模式和学习方式为之一新，形象思维的火种为学生的抽象思维发展带来一片光明。具体讲，形体数学有以下创新：

一、创编了形体数学系列教材。此教材为中小学数学新课程中的各个知识点，分别设计了相应的直观模型和操作演示活动以及相应问题的图解例题。此教材既可作课堂教学的导入材料，也可作为学生开展自我探究学习的参考。  

二、开辟了形体教学课堂模式。此模式能把数学的抽象知识，通过直观模型演示生动形象地展现出来，能有效激发学生学数学的兴趣，大幅度缩短教学时间。 

三、发明了方形图解题法。此解题法具有以不变应万变的特点，可在课堂练习、课后作业以及解决问题的过程中普遍运用。此解题法能充分发挥形象思维与抽象思维互动互用，能化繁为简、化静为动、化难为易。学生一经掌握此方法，便能攻必克、战必胜，有效增强学生挑战难题的自信心。 

下面从三个问题入手，具体介绍怎样把形象思维渗透到数学教育的各个环节中。

    一、为什么选择方形作为数学教学的典型化载体

    形体数学是中、西方数学文化优势相结合的产物。众所周知，我国数学有着鲜明的民族特色，特色之一是擅长借助直观形体揭示数学抽象规律。我国古代曾发明过用算丸计数、用算盘进行运算和用算筹解方程的方法。算丸、算筹虽然已不再使用，但是，“以形代数”、“以操作演示揭示数学规律”的思想方法并不过时，恰恰相反，在现代基础数学教育跨入新世纪前页，人们对我国上述思想方法的回归便已形成世界性思潮。前英国皇家协会主席、牛顿研究所所长阿迪雅认为：20世纪下半叶数学的发展已回归到更多的庞家莱精神，即强调数学的几何思维。中国科学院陆其铿院士在《21世纪数学》一文中指出：形象思维应渗透到数学的各个领域，甚至在代数和数论领域里也是如此，这是21世纪基础数学发展的总趋势。值得欣喜的是，形体数学在充分发挥形象思维并将其渗透在基础数学教学领域里的研究，已取得突破性进展。发现数学与方形之间的联系并选择方形作为数学的典型化载体；把基础数学的知识点均与方形建立直接联系；开发出一系列可用于操作活动的直观模型；借用方形规律解决数学问题等，这均是对我国以形代数、以操作活动揭示数学规律的思想方法在新世纪条件下的继承和发展。下面分别阐述选择方形作数学典型化载体的理由。

1、方形是体现人类创造性思维最具典型意义的形体。我在为数学选择典型化形象载体的过程种发现：自然界物体形态的特点是“圆”。例如，天上的太阳、月亮、星星,它们的形体基本上是圆球形的；地球上植物的躯干、茎基本上是圆柱形的，地球上动物的躯体都有圆球和圆柱的影子。一句话，大到天体宇宙、小到基本粒子，圆无处不在。在现实世界里，方形是人类独特的创造！可以这样说：圆由大自然造就，它简单和谐而统一；而方形则是人类创造性思维的化身。它有棱、有角、有度、有点、有线、有面。大自然的规律之“圆”与人类的思维之“方”相结合，才产生了神奇美妙的数学。数学是人类抽象思维的典范，是体现人类创造思维的精华。正是从这一意义上讲，数学与方形最具同一性。另外，方形状态稳定，组合方便、；既便于观察也便于测量。所以，选择方形用于数学教学是最理想的形象载体。

    2、方形是中小学生最熟悉的图形。关于学习，有这样一句名言：“高效学习的决窍是：把要学的与已知的或已记住的东西联系起来”。毫无疑问数学教学也应该是这样，我在为数学教学选择典型化形象载体的过程中发现：方形是学生普遍熟悉和已知的形体。尽管每个学生的生活环境不同，经历不同，他们已知的东西存在很大差别，但是，方形则是他们普遍熟悉的。因为人一生下来所处的房屋就是一个方形世界，屋子里的墙壁、门窗、地板都是方形的；学生一入学就又与课桌、书本、黑板等方形打交道，方形是他们每天都接触、感受到的，是学生们感性认识最丰富、最熟悉的图形。

    3、方形与数学有着天然的联系性。数学中的许多基本概念 比如，平方、立方、乘方、开方、方程、方根…都与方形密切相关。我们知道，物体体积的大小是以“立方”为单位的，物体面积的大小是以“平方”为单位的，长方形面积公式是一切规则图形面积公式的基础。比如三角形、平行四边形、梯形以至圆，它们的面积公式均是以方形面积公式为基础推导的，即使是神奇美妙的函数曲线也脱离不开方的框架。另外，方形中的等量关系也非常丰富。例如，方形的对边相等，对角相等，邻角相等，对角线相等…，可以说方形就是数学方程天然的形象载体。方形体还具有综合特性。比如长度、面积、体积，这些截然不同的单位却能完美地统一在方形体之中。所以，把方形内在关系作为数学知识的原始生长点不仅可行，而且确切。

    4、方形内在关系与许多数学规律有密切联系。数学里的许多著名定理、定律或公式常与平方、立方有不解之缘。例如，著名的勾股定理就是以方形的两直角边平方与对角线平方的关系构成的；又如，具有重要美学价值的黄金分割定律，也是以比例中项的平方式表达才最简捷。另外，为什么无理数存在于正方形边长为正整数的对角线之中？为什么许许多多的数学模型常以平方、立方形式展现？一句话，自然规律使然！

    5、方形组合变换活动是开发数学智力的有效途径。我国在探究、运用方形组合转化规律方面有着源远流长的历史，有着得天独厚的经验积累。例如，自古至今在民间广泛流传的“七巧板”、“魔方”、“华容道”、“折纸”等智力活动，它们都是方形组合位置巧妙变换的经典，都具有精深的数学机理。把这些富有民族特色的方组合变换活动与数学活动联系起来，并使其发扬光大，这是我们炎黄子孙的历史责任。

    6、用方形组合展示数量关系具有易简特性。方形组合模型就外观形式而言，它仅有“完全方”和“非完全方”两类，就图形的组合形式而言，仅有“并列”与“重叠”之分，借助于方形图解题，千变万化的数量关系问题只表现为求面积和求边长两个简单问题，错综复杂的数量关系展现只有 “分”与“合”两种演示，可以说运用方形组合展现数量关系达到了易、简境界。

    由以上介绍可知，选择方形作为数学教学的典型化载体具有客观必然性。

    二、怎样把方形组合模型用于课堂教学

课堂教学是数学教育的重要环节。把方组合模型作为数学的典型化载体，首先体现在课堂教学上。新课标对于新课程的课堂教学提出了许多新要求，比如要求课堂教学要体现操作活动、观察活动开展发现学习，倡导让学生经历知识形成、发展的过程等。但是要把这些理念付诸实施，必须要有相应的教学模式。试问，有多少学校在课堂教学中真正贯彻实施了上述理念呢？可以肯定地说：有，但少之又少。我们在调研中发现：新课程尽管早已实施，但穿新鞋走老路的现象却仍然相当普遍，就教学模式和学习方式而言，基本上还是沿用着从抽象到抽象、从概念到概念、上课老师讲、讲后学生练的教学模式，初中以上的数学教学更是如此，实际上，上述状况也不能全怪学校和教师，因为适合新理念的数学教学模式仍在摸索探求中或尚不成熟，难以普遍推行。教学模式和学习方式的创新是要以理论创新和学术突破为基础的，形体教学模式和学习方式之所以能完美实施新课标所倡导的教学理念，是因为形体数学发现了基础数学的典型化载体，并建立了各种数学知识点与其直观模型的系统联系性，它能让学生借助对直观模型的观察、操作变换活动，从中发现、感悟出与课本知识相一致的结论来，从而形成深刻难忘的学习效果。下面结合具体问题，展示一例。

    题目：11-20各数的认识

    先展出11-20不同数的十组模型

 

 

 

教学步骤：先让学生分别数出各组直观模型的方块数，然后再让学生站在直观模型的正前方进行观察，亲身体验和感受20以内各数与如上图形之间的内在联系性，可组织学生进行交流，最后在老师的引导下，完成20以内数位意义的认识，并归纳、抽象出两位数的概念与写法。通过以上过程，能使学生亲身体验、并感受到由形象到抽象的升华过程。

形体数学为基础数学的各个知识点均设计了直观模型，借助模型能使学生直观看出知识点的内在规律，能强化记忆深化理解。再举一例

题目：一元二次方程一般形式的根与系数关系

我们知道，一元二次方程的一般形式通过二次项系数化一，可得出χ²+ a(b)χ + a(c) ＝0的形式，此方程可用下图直观展现： 

 

χ²+ a(b)χ+ a(c) ＝0(a≠0)         

 

 

 

 

 

 

由上图我们能直观看出适合χ²+a(c)＝- a(b) χ 的图形有横竖两组。观察以上图形不难发现：一

元二次方程的两个根分别对应于常数项 a(c) 方形的长、宽边长。那么，一元二次方程的两个根与系数是怎么样一种关系呢？由图能直观看出：两个根与系数有如下关系：

χ1 +χ2＝- a(b)            χ1·χ2＝a(c)

 

著名心理学家皮亚杰说：儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系思维就不能得到发展。我们都有这样的体会，亲自动手做一做的效果往往比单纯的听讲要深刻得多，在课堂教学中，运用数学直观模型能通过操作活动生动展现或揭示抽象数式的内在关系，给学生以深刻难忘的印象。下面，以平方差公式为例，介绍其操作活动过程：

1、先在展示板上摆出一个大正方形，在其横竖边长中间标上a，面积标a²见下图（1）；

2、从大正方形一角挖去一个小正方形，设小正方形边长为b，面积为b²，在大正方形边长的剩余边长中间标上a-b，所剩下的非完全方面积即为a²-b²，见下图（2）。

引导学生参照图形想：怎样把a²-b²这个非完全方面积转化为完全方面积呢？经观察容易发现：可运用图形割补的方法。即割下虚线部分的s面积补到实线处的s位置，a²-b²这个非完全方图形即转换成(a+b)(a-b)完全方图形。见图（3）

 

 

 

 

 

通过以上图形变换，不仅能使学生直观看出a²-b²=(a+b)(a-b)的内在关系，还能进而发现把多项式分解成因式的几何意义。给学生留下深刻难忘的印象。

形体数学为中小学数学课程的每个知识点都设计了直观模型和体现形体教法的操作活动过程，把直观模型运用于课堂教学，不仅能省却教师自制教具而付出的时间与精力。同时能使学生深化理解和强化记忆，大幅度缩短教学时间，从而能给学生留下更多的自主探究时间。

三、怎样用方图形解题

课堂练习和课后作业是数学教学的重要环节，是提高解题能力不可缺少的过程，也是培养学生独立思考、自我探究、与创新能力的必经之路。事实上，许多学生对数学望而生畏都是表现在做题上。为了解决这个问题，笔者发明了“方形图解题法”。此解题法由“一组方形图、两套基本思路、三种关系公式、六个图形定理”构成。下面分别介绍。

一组方形图就是要求解题前先画出方形图。我们把会作方形图作为学生的一项基本技能来训练，这种作图训练从一入学就开始，当然要给学生备以画图的特制学具。事实上，学生学画图，往往比学数学知识更感兴趣。学画方形图有益于培养学生的数学素质能力，有益于学生养成多方面的良好习惯，运用作图法尤其适合解难题。举一实例。

平平和芳芳集邮，平平给了芳芳3枚后，两人的邮票同样多，问原来平平的邮票比芳芳多几枚？

这是小学一年级下册的一道题，此题目若完全依靠抽象思考有些难度。可先画出题意方形图：

 

 

 

 

由上图能直观看出：平平拿出3枚邮票后，与芳芳增加3枚邮票相等，即平平的邮票比芳芳正好多两个3枚，3+3=6，即平平原来比芳芳多6枚邮票。借助图形思考解答，能化难为易，便于检查，不易出错。

任何数量关系都能用方形图展现出来，千变万化的数学问题表现在方形图上，都能转化成了两个简单问题：或求面积或求边长。两套基本思路就是关于求面积或求边长的基本思路。可简述为：求完全方面积时，先寻找与所求面积相关的横、竖边长；求边长时先寻找与所求边长相关的面积及另一条边长。这种图解思路自然易记，而且简单实用。举一实例： 

老爷爷给几个小朋友分核桃，每人分9个余8个，每人分11个少4个。问：有几个小朋友？核桃的总数是多少？

 

题意图如下：

 

 

由上图可见 ，小朋友人数对应在图中的左竖边长；核桃总数对应图中的非完全方面积。

求小朋友人数的图解思路：先寻找与左边长相关的面积与另一条边长，不难发现，与所求边长相对应的方形面积是8+4=12，而它的另一边长则是11-9=4。所以小朋友的人数是：

（8+4）÷（11-9）=6（人）    ①          

求核桃总数的图解思路：因核桃总数对应于非完全方面积，非完全方面积由S1和S2两个完全方形面积构成，因已求得S1的竖边长是6，而它的横边和S2面积已知。所以核桃总数是：

6×9+8=62（个）              ②

通过图形关系类比，容易推出如上算式的算理意义：

算式①的算理意义：每个小朋友分9个余8个，如果加上4个后，即正好每人分11个。即（8+4=）12个核桃正好可使这些小朋友每人多分（11-9=）2个，所以12÷2就是小朋友的人数。

算式②算理意义：因6个小朋友每人分9个核桃多出8个，所以6×9+8就是核桃总数。

六个图形定理具有广泛的适用性，特别适合解决那些相对复杂的疑难题，一经掌握，即能攻必克、战必胜，有效增强学生战胜难题、挑战难题的自信心。下面以图形定理六为例，作一解题介绍。

图形定理六：如果有两个等积重叠方的横边长a1、a2分别相等，那么两图的竖边差之比与它们的完全方面积之比成正比。即b1∶b2=S1∶S2或 b1∶S1= b2∶S2见下图：

 

 

 

 

 

图形定理六解题应用举例：

一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高25%，可比原定时间提前72分钟到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达，求甲、乙两地相距多少千米？

解答以上题目可根据题意设甲、乙两地路程为χ，做题意图如下：

 

 

 

 

 

 

如上左图的横边表示汽车速度。长横边表示提高25%以后的速度，短横边表示原速度；。其竖边表示时间，长竖边表示用原来速度所用的行驶时间，竖短边表示提速25%后所用时间，72分是它们的时间差。甲乙两地的路程用面积表示，见上图（1）。

如上右图描述的是实际情形，因为为汽车用原速度行驶了120千米后才提速，即提速行驶的路程少120千米，故而只提前40分钟到。 

根据题意和以上图形与定理6，可得以下方程：

       40(72)＝x－120(x) 或x(72)＝x－120(40)

解得χ＝270(千米)

由以上解题过程可知，先运用方形图描述题意，然后再根据方形图结构特点选择相应的图形规律解题，能化繁为简、化难为易。

一切数学问题，既有其图形结构，也有其操作演示过程。解题时通过模拟操作活动，再画出结构图形，往往能使学生茅塞顿开，顺利完成解题。看下题：

在平面直角坐标系中，已知矩形A、B、C、D的长为2，宽为1，AB、AD边分别在χ轴，y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，把矩形折叠，使A点落在CD上。

（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出所在直线的方程；

（2）求折痕的长的最大值。

如上题目是一道高考试卷的压轴题，解此题的捷径是按题意动手折纸做一做，即让矩形ABCD的A点从D点出发到C点终止进行移动，通过操作容易发现：矩形上的折痕与A在DC上的对应点所连线段具有垂直平分关系，也容易发现出折痕的最大值，即折痕经过B点时最长，此这两项发现能为上述问题的解决提供简捷思路。根据题意操作过程的典型图如下

由以上操作的典型图可见：当A与D重合时，折痕直线方程为y＝2(1)，k＝0。当点A离开D点向C点逐渐靠近时，折痕所在直线的斜率便开始在小于0范围内变化，折痕也开始逐渐变长，当折痕经过B点时，折痕长即达到最大；折痕将OA′垂直平分。

解：①设折叠后点A在DC边上的对应点为A′，折痕所在直线的斜率为K≤0.

设OA′与折痕交于点F，因为OA′被折痕垂直平分，所以可得0A′的直线方程为

y＝- k(1)χ.设OA′与折痕交于点F，由已知条件可得点F的纵坐标为 2(1)，代入0A′直线方程，得点F的坐标为（- 2(k) , 2(1)），由点斜式得折痕直线的方程为

y－2(1)＝k(χ＋2(1)k) .整理得

y＝kΧ＋2(1)k2＋ 2(1)  ①

②因知折痕经过B点时最长,且B点坐标为（2、0），将此坐标代入方程①式可得折痕的斜率为k＝-2＋，设折痕与y轴交点E的坐标为（x,y），可得此折痕与Y轴的截距为： 

y＝ (-2＋)(0-2) ＝4－2.由勾股定理可得折痕最大值为

 

 

形体数学教学模式和学习方式普遍适合中小学生的认知规律和学习特点，能有效培养学生多方面的数学能力，益于培育学生严谨细致的思维习惯，学生一经掌握此学习方式，其数学成绩就会出现飞跃性提高。在邢台办培训学校时，曾有一位数学教师领着她五年级的女儿对我说：孩子并不笨，就是不爱学数学，一做题就出错，数学考试总是一塌踏糊涂。正是这位同学经过我们培训，后来成了她们班最喜欢数学的尖子生，为此她母亲专程找我道谢说：真没想到形体教法有这样神奇的作用，真没想到孩子会有这么大的变化。形体数学先后在石家庄、济南、郑州等地进行过培训，所到之处都深受师生们喜爱。

形体数学也得到国家高端专家充分肯定，中央教科所教育理论研究室主任储朝晖博士在对形体数学的评价中指出：“本人与形体数学发明人杨浩民进行过八年多的交流与探讨，并与北京师范大学等高校数学专业的教师和研究人员一同分析研究，认为杨浩民所研究的中小学数学形体教学法已形成相对完整的思想方法体系，在教学思想与教学方法上均有创新。形体数学的教育教学意义在于：一是能使那些抽象思维发展相对较迟的学生通过形体理解数的抽象概念，克服数学学习中的困难；二是通过这种方法能使原本对数学缺乏兴趣的学生因动手操作和对形体的兴趣而对数学产生兴趣；三是能促进那些智能发展水平相对较高的学生加深对数与形体的内在关系的理解，从而促进他们的智力发展，激发创造力；四是丰富了数学语言，解决了数学课程中的数形分离问题，有利于学生多样性的潜能获得发展；五，有利于促进学生手脑并用，有助于学生左右脑协调发展，有利于将数学学活、学深、学明，尤其在保持学生对数学持久兴趣和开阔思路方面有积极意义。”

形体数学从灵感萌发到不断有所发现，从不懈探索精进到基本体系形成，从自办学校在数学实践中检验完善，到坐下来精心梳理编写教材与设计教学模型，整个过程已近十四个寒暑了。关于中小学数学的系列直观模型设计现在已经完成，与初中人教版数学同步使用的形体教材也已全部完稿，与中小学数学同步的“课堂教案参考”的编写已近尾声。愿热心数学教学改革的中小学领导、师生积极引进形体教学模式，以实现数学教育的飞跃性发展。我坚信：形体数学一定能叫响全国并走向世界。     

 

全新教学法让孩子爱上数学

    储朝晖

    小学阶段的数学学习，强调的是由形象思维逐步过渡到抽象思维。不同的孩子在这个过渡阶段存在先后差异。能否找到一种方法有效地帮助孩子顺利实现这种转变，是教育界及广大学生、家长共同关心的问题。

       我对小学形体数学教学法有两年多的跟踪调研。我认为该教学法在教学思想和教学方法上均有创新。其教学意义在于：一是能使那些抽象思维发展相对较迟的学生，通过“形体”理解“数”的抽象概念，克服数学学习中的困难；二是通过这种方法，引发一些原本对数学缺乏兴趣的学生对数学产生兴趣；三是促进那些智力发展水平相对较高的学生，加深数与形体的内在关系的理解，从而激发他们的创造力。总体上说，在当前数学教学法相对单一、呆板的情况下，推广该方法有利于促进学生手脑并用，有利于将数学学活、学深、学明，尤其对保持学生对数学的开阔思路和持久兴趣具有积极意义。

    形体数学的核心价值在于培养孩子的学习兴趣、开阔思路、促进其智力发展。该方法确实能在较短时间内迅速提升学生的学习成绩，但我不主张将这种方法作为纯粹提高学生考试分数的工具，而是主张以学生有效、健全发展为目标，推广使用形体数学教学法。